مفاهیم سری زمانی

در این مقاله به بررسی و تعریف مختصری از سری زمانی و مولفه های مختلف حاکم بر آن پرداخته می شود.

مفاهیم سری زمانی

هر سری زمانی یک مجموعه از مشاهدات x_t است که هر یک در زمان مشخص t ثبت شده اند. در سری زمانی گسسته مجموعه T₀ از زمان هایی که در آن ها مشاهده ها صورت گرفته است، یک مجموعه گسسته است [۱]. قبل از هرگونه آنالیز روی سری های زمانی نیاز است که یک مدل احتمال برای نمایش داده ها تنظیم کرد. بعد از این که یک خانواده مناسب از مدل ها انتخاب شد، برآورد پارامترها، بررسی خوبی برازش به داده ها و احتمالاً استفاده از مدل برازش شده برای بهبود درک و دانش خود از مکانیسم تولیدکننده سری، ممکن می شود. در برخی کاربردها نیاز است که مؤلفه های فصلی را شناسایی و حذف کنیم که با مؤلفه بلندمدت اشتباه گرفته نشوند. این فرآیند سرشکنی فصلی نامیده می شود. دیگر کاربردهای مدل های سری زمانی شامل جداسازی (فیلتر کردن) نویزها از سیگنال اصلی، پیش بینی مقادیر آتی سری، آزمون­های فرض،  پیش بینی یک سری از مشاهدات یک سری دیگر و کنترل مقادیر آتی یک سری با تنظیم پارامترها است. مدل های سری زمانی هم چنین برای مطالعات شبیه سازی بسیار مفید هستند.

هر سری زمانی یک مجموعه از مشاهدات x_t است که هر یک در زمان مشخص t ثبت شده اند.

برخی از مدل های ساده سری زمانی

یک بخش مهم از آنالیز یک سری زمانی، انتخاب یک مدل احتمال مناسب (و یا یک کلاس از مدل ها) برای داده هاست. فرض می شود که هر مشاهده x_t یک مقدار واقعی از یک متغیر تصادفی X_t است.

تعریف: یک مدل سری زمانی برای داده مشاهده شده {x_t} تعیین توزیع توأم (و احتمالاً تنها میانگین ها و کوواریانس ها) یک دنباله از متغیرهای تصادفی {X_t} است که {x_t} تحققی واقعی از آن است[۱].

شاید ساده ترین مدل یک سری زمانی مدلی است که در آن هیچ ترند و یا مؤلفه فصلی ای وجود ندارد و نیز در آن مشاهدات متغیرهای تصادفی مستقل و دارای توزیع یکنواخت (iid) با میانگین صفر هستند؛ و این بدان معناست که با دانستن مقادیر X₁, … , X_n نمی توان به پیش بینی باارزشی از رفتار X_n+1 رسید. اگرچه این فرآیند که آن را نویز iid می نامیم، یک فرآیند دلخواه برای  پیش بینی نیست اما یک نقش مهم در مدل های  پیچیده تر سری زمانی ایفا می کند.

یک بخش مهم از آنالیز یک سری زمانی، انتخاب یک مدل احتمال مناسب (و یا یک کلاس از مدل ها) برای داده هاست.

مدل های  شامل ترند و مؤلفه های فصلی

تعیین ترند و حذف آن گام هایی مهم در آنالیز داده هاست. اگرچه هنوز تعریف دقیقی برای آن وجود ندارد و نیز الگوریتمی منطقی برای استخراج آن موجود نیست، اما به صورت ساده می توان گفت که ترند در یک سری زمانی، تغییرات آرام و تدریجی در یک ویژگی آن در طول کل زمان موردمطالعه است.

در بسیاری از سری های زمانی یک ترند واضح در داده ها دیده می شود و در این سری ها مدل میانگین صفر برای داده ها نامناسب است. رابطه زیر برای مدل هایی که مؤلفه فصلی ندارند مناسب است:

    X_t=m_t +y_t

در این رابطه m_t یک تابع با تغییرات آهسته است که به نام مؤلفه ترند شناخته می شود و Y_t دارای میانگین صفر است. یک تکنیک مفید برآورد m_t روش کمترین مربعات است که در آن سعی بر برازش یک خانواده پارامتری از توابع (به طور مثال رابطه بالا) به داده­های {x₁,…,x_n} می شود. این کار با انتخاب پارامترها برای کمینه شدن  انجام می شود. این روش را رگرسیون کمترین مربعات می نامند.

ما ترندها را در دو نوع کلی خطی و غیرخطی دسته بندی می کنیم. ترندهای خطی، حرکت خطی ایستگاه با سرعت ثابت و شتاب صفر در یک جهت مختصاتی را نشان می دهند. ترند خطی به سادگی می تواند با یک معادله خط مدل سازی و اثر آن بر روی سری زمانی شناسایی گردد.

که در آن t_R زمان مرجع، x_R موقعیت مرجع مختصاتی و v سرعت حرکت ایستگاه در جهت مؤلفه مختصاتی است. ترند غیرخطی به دلیل شتاب هایی که بر ترند خطی وارد می­شوند، به وجود می آید و در مناطق نزدیک به آتش فشان ها و کوه های یخ فعال بیشتر مشاهده می گردد[۲]. ترند غیر­خطی را می توان با یک معادله چند جمله­ای مدل سازی کرد. رابطه بالا حالت کلی این چندجمله ای را نشان می دهد که می توان با توجه به رفتار سری زمانی درجه مناسب را برای این چندجمله ای در نظر گرفت. در حالت کلی امکان نیاز به یک چندجمله ای با درجه بالاتر از دو بسیار کم است.

که در آن n_p درجه چندجمله ای، t_R زمان مرجع و p_i ضریب مربوط به چندجمله ای مرتبه i است. درصورتی که n_p برابر یک باشد، این معادله تبدیل به ترند خطی می شود که در آن p₁=X_R  و p₂=v است. درصورتی که n_p  برابر دو باشد، رابطه بالا یک ترند غیر­خطی با شتاب ثابت را نمایش می دهد.

در سری های زمانی هرگاه الگویی وجود داشته باشد که در یک دوره مشخص و ثابت، تکرار شود، گوییم که آن سری دارای تغییرات فصلی است. این تغییرات می توانند منظم و یا و یا نیمه منظم باشند. تغییرات فصلی به علل گوناگونی می توانند رخ دهند که ازجمله این عوامل می­توان به جزر و مد  و آب وهوا اشاره کرد. این تغییرات معمولاً شامل الگوهای دوره ای، تکراری و به طورکلی قابل  پیش بینی و منظم هستند [۳]. برای نمایش مؤلفه های فصلی ما از مدل ساده زیر استفاده می کنیم. سیگنال های فصلی به طورکلی توسط توابع سینوسی با دوره سالیانه، نیم سالیانه و … مدل می شوند.

         X_t=s_t+y_t

که در آن s_t یک تابع دوره ای از t با دوره تناوب d است (s_t-d=s_t). یک انتخاب رایج برای s_t جمع هارمونی های (موج­های سینوسی) زیر است.

که در آن a₀, …,a_n و b₀,…,b_n پارامترهای نامعلوم و ω_iها فرکانس­های ثابت هستند.

تعیین ترند و حذف آن گام هایی مهم در آنالیز داده هاست. اگرچه هنوز تعریف دقیقی برای آن وجود ندارد و نیز الگوریتمی منطقی برای استخراج آن موجود نیست، اما به صورت ساده می توان گفت که ترند در یک سری زمانی، تغییرات آرام و تدریجی در یک ویژگی آن در طول کل زمان موردمطالعه است.

سری های زمانی موقعیت در نقطه AB05 و ترندهای آن ها

یک سری زمانی اکیداً ایستا نامیده می شود، هرگاه به ازای همه مقادیر t₁,t₂,…,τ، توزیع توأم y(t₁),…,y(t_n)  همانند توزیع توأم y(t₁₊τ),…,y(t_n+τ)  باشد. به عبارت دیگر، اگر زمان اولیه به اندازه τ تغییر مکان یابد، روی توزیع های توأم که باید فقط به فاصله های بین t₁,…,t_n بستگی داشته باشند، تأثیری حاصل نشود[۴]. تعریف فوق برای هر مقدار n برقرار است، بخصوص وقتی  n = 1 است، نتیجه می شود که برای تمام tها توزیع y(t) یکسان است به طوری که:

و این یعنی میانگین و واریانس مستقل از زمان و در طول فرآیند ثابت هستند.

مؤلفه سالیانه در نقطه AB21

مؤلفه نیم سالیانه در نقطه AB21

منابع:

[۱]        P. J. Brockwell and R. A. Davis, Introduction to time series and forecasting: Springer Science & Business Media, 2006.

[۲]        S. Zhao and G.-W. Wei, “Jump process for the trend estimation of time series,” Computational Statistics & Data Analysis, vol. 42, pp. 219-241, 2003.

[۳]        J. L. Davis, B. P. Wernicke, and M. E. Tamisiea, “On seasonal signals in geodetic time series,” Journal of Geophysical Research, vol. 117, 2012.

[۴]        C. Chatfield, “Calculating interval forecasts,” Journal of Business & Economic Statistics, vol. 11, pp. 121-135, 1993.